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Omar Franco Camilo
Universidad Autónoma Metropolitana
Introducción
El Método de Elementos Finitos (MEF) se utiliza para llevar a cabo análisis dinámicos, ya sea para determinar la respuesta de un depósito o analizar el potencial de licuación. Si bien, la ecuación de onda no se cumple de manera cabal en el MEF, esta aproximación se utiliza por su sencillez en la implementación y la buena aproximación obtenida al compararla con aquellas estrategias donde sí se respeta la propagación de ondas.
En este artículo se estudia la respuesta dinámica de un sistema suelo-cimentación-estructura con el MEF y se comparan los resultados con el método de los 3 pasos de Kausel, bajo las limitantes que conlleva un modelo elástico, lineal, homogéneo e isotrópico, tanto para el suelo como para la estructura.
Para entender un poco del estado del arte que involucra el estudio de la Interacción Dinámica Suelo Estructura (IDSE), se debe partir del entendimiento de diferentes áreas, que en su conjunto permiten comprender y aplicar conceptos que se verán limitados o no, dependiendo del alcance que se busca. Algunas de estas áreas se enuncian a continuación:
1. Propagación de ondas en un medio estratificado.
2. Propagación de ondas en la estructura.
3. Efectos de sitio.
4. Análisis lineal y no lineal en el suelo y la estructura.
5. Análisis y manipuleo de series de tiempo.
6. Caracterización de las propiedades del suelo y la estructura (modelos constitutivos).
7. Amortiguamiento del suelo y la estructura.
8. Análisis modal del suelo y la estructura.
9. Modelado numérico del suelo y la estructura, etc.
El uso del MEF en el análisis y diseño se ha vuelto muy popular, sin embargo, se debe tener especial cuidado en la forma de validar los resultados obtenidos. Brinkgreve y Engin (2013) mencionan los parámetros de control que se deben seguir para obtener resultados confiables de un análisis realizado con MEF.
Figura 1. Visualización del proceso de modelado desde el Modelo real al Modelo de computadora. Adaptado de Brinkgreve y Engin (2013)
A continuación, se presenta parte de la metodología previa a la IDSE con la cual, se obtiene la respuesta dinámica del depósito de suelo y se comparan estos resultados con la respuesta unidimensional obtenida resolviendo la ecuación de onda, propiamente (utilizando el programa DeepSoil).
Figura 2. Proceso para conocer la respuesta dinámica del depósito de suelo
En la etapa 1 y 2, se optimiza la señal de entrada y la malla de elementos finitos a fin de reducir los tiempos de cómputo y la capacidad de memoria requerida, asimismo, se verifica la capacidad de la malla para reproducir adecuadamente la propagación de las ondas sísmicas, así como la no afectación de la señal incidente.
Los parámetros de la señal sísmica incidente que se varían para optimizar el modelo numérico son el intervalo de muestreo (∆t) y la longitud de la señal (L). El primero se incrementa mientras que el segundo se reduce. El proceso aplicado consiste en las etapas siguientes:
1. Determinar los espectros de potencia y de fase de Fourier, y/o alternativamente el espectro de respuesta, de la señal original.
2. Incrementar el ∆t de la señal original (diezmado) para reducir el tiempo de cómputo, cuidando no eliminar frecuencias de importancia.
3. Determinar la Intensidad de Arias (IA) de la señal para definir la zona del sismograma donde se tiene la mayor concentración de energía y a partir de ello eliminar los tramos del sismograma que no contribuyen de manera importante en el movimiento del terreno. Una vez recortada la señal, esta se corrige por línea base.
4. Verificar que no existen cambios importantes entre los espectros de la nueva señal con respecto a la original, principalmente en la aceleración máxima del terreno y en las ordenadas espectrales de los periodos fundamentales de vibración del terreno y del edificio.
Por otro lado, se sabe que a mayor densidad de malla mejor solución, sin embargo, en problemas de transmisión de ondas es necesario verificar que el tamaño del elemento finito no actúe como un filtro de la señal, además es indispensable cuidar que el número total de elementos de la malla no exceda los recursos de cómputo disponible. Por tiempos de cómputo se resuelve una columna de suelo o un modelo unidimensional ya que el cálculo es muy rápido (segundos).
Primeramente, se parte de la idea de una columna de suelo, la cual se discretiza. El tamaño a y b se ajustarán de acuerdo con el criterio del usuario, no hay una regla que dicte el tamaño apropiado, la única forma de saber que se están haciendo las cosas adecuadamente es comparando la respuesta en superficie con la respuesta obtenida por DeepSoil, esto lo vuelve un trabajo iterativo.
Figura 3. Columna de suelo.
Resuelto el paso 1 y 2, se procede con los demás análisis que se muestran en la siguiente Figura 4.
Figura 4. Procedimiento de modelado.
Todo el proceso anterior, se realizó con el objetivo de resolver la respuesta en superficie de un medio estratificado, con comportamiento elástico lineal, homogéneo e isotrópico.
Modelado Interacción Dinámica Suelo Estructura
A continuación, se realiza la IDSE mediante el método de los 3 pasos de Kausel y con el MEF. Se presentan un ejemplo de aplicación donde se considera un depósito formado por un estrato.
Las propiedades del modelo estructural son las siguientes, y se consideran secciones cuadradas de 80cm, un sistema de dos niveles compuesto por un marco en cada nivel, donde la altura de la columna es 3m y la longitud de las vigas son 4m, con una profundidad de desplante (Df) de 1m.
Tabla 1. Propiedades del estrato equivalente
Figura 5. Ejemplo de verificación
El modelado del suelo en 2D y 3D se realiza como se muestra a continuación:
Figura 6. Modelado 2D midas GTS NX
Figura 7. Modelado 3D midas GTS NX
Algo que no se mencionó es lo relacionado con el amortiguamiento, para entender el modelado y cómo funciona, se usó en primer momento un amortiguamiento para cada modo de vibrar de 5%, posteriormente se modificó a ξ1 = 6% y ξ2 = 4% para cada modo, respectivamente. El software midas GTS NX solicita, además, los periodos o frecuencias con los cuales realiza el análisis, por lo tanto, los periodos corresponden al periodo fundamental del depósito y al periodo fundamental de la señal incidente.
La señal de entrada es CUMV con un ∆t = 0.04s que corresponde al sismo de la ciudad de México en la estación CU del año 1985.
Figura 8. Señal incidente CUMV con ∆t = 0.04s
Método de los 3 pasos de Kausel
Este procedimiento representa una forma simplificada de considerar el problema de interacción suelo estructura, descomponiendo el fenómeno en tres pasos: Interacción inercial, Interacción cinemática de los efectos y la Interacción que incluye los dos anteriores.
Figura 9. Solución de tres pasos. Adaptado de “The spring method for embedded foundations”, Kausel et al (1978).
Resultados
Figura 10. Espectros de respuesta 2D y 3D
(Método de los 3 Pasos de Kausel, MEF con ξ1 = ξ2 = 5% y MEF ξ1 = 6% y ξ2 = 4%)
Figura 11. Espectros de potencia 2D y 3D
(Método de los 3 Pasos de Kausel, MEF con ξ1 = ξ2 = 5% y MEF ξ1 = 6% y ξ2 = 4%)
Conclusiones
Cuando se obtiene el espectro de respuesta elástico para las series de tiempo considerando las variaciones de amortiguamiento propuestas, se observa una similitud, se conserva la máxima respuesta en el primer periodo fundamental de vibrar para el modelo 2D, además que se percibe una ligera variación entre la línea azul y roja, independiente del porcentaje de amortiguamiento asignado a los modos. De igual forma, se observa que para el siguiente modo de vibrar la similitud no es tan certera. Para el caso del modelo 3D, la respuesta en términos del espectro de respuesta elásticos es más variable. Si bien, se conserva una semejanza para la respuesta en el primer modo de vibrar, para cierto intervalo de frecuencias, la respuesta es superior para el método de Kausel, que para el MEF. Cabe señalar que no se trata de una generalización, únicamente se observa este comportamiento para este ejemplo en particular.
Al analizar el espectro de potencia, se observa que la variación es mayor, incluso que cuando analizamos el comportamiento únicamente del suelo. Se encuentra un reducido intervalo de frecuencias, donde la respuesta es semejante, y fuera de este intervalo la variación es mayor. Finalmente se observa que se mantiene semejanza en cuanto a la máxima aceleración de la serie de tiempo, la cual la podemos observar en los gráficos de espectros de respuesta elásticos justo al inicio, para periodos cercanos a 0 segundos.
Para condiciones de depósitos de suelo con estratificación horizontal y de una estructura regular, el método analítico produce excelentes resultados y es adecuado para validar los modelos numéricos, donde posteriormente pueden introducirse variaciones estratigráficas o estructuras no regulares, así como el comportamiento no lineal.
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