Un análisis lineal es cuando se mantiene una relación lineal constante para el esfuerzo y la deformación de un modelo, lo que significa que la matriz de rigidez del modelo permanece igual durante todo el análisis. Sin embargo, ¿cuándo se puede llamar no lineal a un análisis? ¿Cuáles son los tipos de análisis no lineal? Seungwoo Lee, Ph.D., ingeniero supervisor senior de WSP USA está aquí con nosotros para hablar sobre algunos tipos de análisis no lineal básicos.
23 de Septiembre de 2021
P: ¿Qué es el análisis lineal y no lineal?
Lee: Uno de los mejores ejemplos es la relación esfuerzo-deformación que se muestra en la figura 1
Figura 1. Relación esfuerzo-deformación (de Wikipedia)
La relación esfuerzo-deformación puede considerarse lineal solo cuando el esfuerzo y / o deformación es baja. Si el esfuerzo es superior a algún nivel (límite elástico - yield strength en la Figura 1), o la deformación es mayor que algún valor (la deformación correspondiente al límite elástico en la Figura 1), la relación esfuerzo-deformación no es lineal. Esto normalmente se clasifica como no linealidad del material.
P: ¿Sólo necesitamos considerar la no linealidad del material para una mejor aproximación de los resultados del análisis?
Lee: Hay más que los ingenieros deben considerar. Muchos han estado y están considerando dos no linealidades más. La segunda es la no linealidad geométrica.
Figura 2. Deflexiones de una viga en voladizo (de D. Singhal, et al., Large and Small Deflections Analysis of A Cantilever Beam, Journal of the Institution of Engineers).
La viga deformada en la figura 2 (a) representa la teoría lineal, que también se denomina teoría de la pequeña deflexión / deformación. El momento flector en el soporte fijo es M = PL y no hay fuerza axial en la viga. El cortante es constante a lo largo de la viga. Esto sirve como una aproximación relativamente buena solo si la deflexión, u (o la rotación φ) es pequeña, y por eso se llama teoría de la pequeña deflexión / deformación.
La figura 2 (b) es igual a la figura 2 (a), pero algo exagerada. Hay un desplazamiento horizontal ux y el momento en los apoyos fijos es ahora M = P (L - ux). Debido al cambio de longitud, hay una fuerza axial en la viga, que es igual a Psin (φ0) en la punta. El cortante no es constante a lo largo de la viga y la dirección del cortante también varía. En la teoría lineal mostrada por la viga desviada en la figura 2 (a), la desviación uy es linealmente proporcional a la carga P. En otras palabras, si P se convierte en 2P, la desviación es 2uy, si P se convierte en 3P, la desviación es 3uy , etc. En la teoría no lineal mostrada por la viga desviada en la figura 2 (b), la relación anterior ya no es cierta. La relación entre P y uy ahora no es lineal.
La otra no linealidad es la no linealidad por restricción o contacto causada por condiciones de contorno.
Figura 3. Voladizo con soporte con huecos (de Nam-Ho Kim, Análisis de elementos finitos del problema de contacto).
Si la deflexión de la punta debido a la carga es menor que δ, el sistema estructural es un simple voladizo. Junto con el aumento de la carga, la deflexión de la punta aumenta y, en algún momento, la punta del voladizo golpeará el bloque rígido y el sistema estructural ya no es un simple voladizo. El grado de libertad del sistema está limitado por una condición de frontera impuesta. Por lo tanto, el sistema de voladizo simple ahora es una viga con dos condiciones de apoyo diferentes en sus extremos, lo que es causado por la no linealidad de los límites del modelo.
P: ¿Todas estas no linealidades son independientes entre sí?
Lee: No. Las no linealidades del análisis son dependientes. En la mayoría de los casos, se produce una gran deflexión / rotación con grandes momentos, y la sección cedería o se agrietaría. En este caso, la no linealidad del material también se consideraría además de la no linealidad geométrica.
P: Vivimos en el siglo XXI con computadoras de alta gama. ¿Por qué no considerar todos estos efectos no lineales juntos?
Lee: No podemos ni necesitamos. ¿Necesitamos considerar cada tamaño de grava y detalles de refuerzo para calcular el momento de la viga de hormigón armado? Probablemente no, aunque es posible que debamos considerar los efectos de fisura si es necesario. Lo mismo ocurre con el análisis no lineal. La solución exacta (sea lo que sea que signifique) para el análisis no lineal aún no se ha formalizado y no es necesaria. Lo que necesitamos son aproximaciones dentro del error permitido.
P: ¿En qué casos deberíamos considerar la no linealidad?
Lee: Por lo general, depende del tipo de estructura que esté analizando, pero al menos para los tipos de estructura a continuación, el análisis no lineal suele ser un requisito mínimo para obtener resultados confiables.
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El ejemplo que se muestra a continuación ilustra la relación no lineal en los resultados del análisis de un análisis no lineal simple. (Ejemplo tomado de Goto, Shigeo, ecuación de rigidez tangente de cable flexible y algunas consideraciones, JSCE, Vol 270, septiembre de 1978). Para un sistema de cable dado, se aplica una carga variable P. Calcule la deflexión vertical en el punto de carga. El peso propio del cable es de 1,0 t / my la rigidez axial del cable es EA = 2.550.000 TON. El pandeo del cable se calcula como 16.671 m antes de la aplicación de la carga P.
Figura 4. Estructura de cable con una carga P aplicada.
Figura 5. Deflexión vertical vs aumento de carga.
Como se muestra en la figura 5, la relación entre la deflexión y la carga aplicada no es lineal. Esta relación no lineal de desplazamiento - carga significa que la rigidez del sistema depende de la carga.
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