Control de deflexiones en elementos de concreto reforzado

Introducción

El control de deflexiones es una de las revisiones más importantes que se debe realizar para el estado límite de servicio, especialmente cuando se utilizan elementos no estructurales que sean susceptibles de sufrir daños debido a grandes deflexiones. Particularmente, los elementos de concreto reforzado sometidos a flexión deben diseñarse para que tengan una rigidez adecuada con el fin de limitar cualquier deflexión que pudiese afectar adversamente la resistencia o el funcionamiento de la estructura.

En la sección C.9.5 del Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente (NSR-10) se indican dos métodos para controlar las deflexiones. El primero hace referencia a utilizar las alturas o los espesores mínimos indicados en la Tabla C.9.5(a) o en la Tabla CR.9.5 con el fin de limitar la deflexión vertical a valores admisibles.

Tabla C.9.5(a) - Alturas o espesores mínimos de vigas no preesforzadas o losas reforzadas en una dirección a menos que se calculen las deflexiones

Notas: Los valores dados en esta tabla se deben usar directamente en elementos de concreto de peso normal y de refuerzo grado 420 MPa.

Tabla CR.9.5 - Alturas o espesores mínimos recomendados para vigas no preesforzadas o losas reforzadas en una dirección que soporten muros divisorios y particiones frágiles susceptibles de dañarse debido a deflexiones grandes, a menos que se calculen las deflexiones

Notas: Los valores dados en esta tabla se deben usar directamente en elementos de concreto de peso normal y de refuerzo grado 420 MPa.

El otro método implica el cálculo de las deflexiones inmediatas y a largo plazo, y la respectiva comparación con los valores de deflexiones máximas admisibles correspondientes al tipo de elemento analizado. A continuación, se presentan las disposiciones indicadas en el Reglamento NSR-10 para calcular las deflexiones en elementos reforzados en una dirección (no presforzados), y el procedimiento que debe realizarse en el software midas Gen.

Combinaciones de carga

En primer lugar, hay que tener en cuenta que las deflexiones inmediatas deben considerarse para un nivel de carga de servicio, es decir que deben utilizarse las combinaciones de carga indicadas en B.2.3.

En midas Gen, estas combinaciones deben crearse en Results > Load Combinations > Concrete Design, y definirse de tipo Serviceability como se muestra en el video.

Deflexiones inmediatas

Las deflexiones que ocurren inmediatamente con la aplicación de la carga pueden calcularse mediante los métodos o fórmulas usuales para deflexiones elásticas, tomando en consideración los efectos de la fisuración y del refuerzo en la rigidez del elemento.
De acuerdo con esto, se usa el módulo de elasticidad del concreto Ec, y el momento de inercia efectivo Ie que se indica a continuación, pero sin tomarlo mayor que Ig.

donde

y para concreto de peso normal, 

Ma = Momento máximo debido a cargas de servicio
Mcr = Momento de fisuración
fr = Módulo de ruptura del concreto
Ig = Momento de inercia de la sección bruta del elemento con respecto al eje que pasa por el centroide, sin tener en cuenta el refuerzo
yt = Distancia desde el eje que pasa por el centroide de la sección bruta a la fibra extrema en tracción, sin considerar el refuerzo
En midas Gen, las deflexiones inmediatas de las vigas se calculan a partir de la deflexión elástica teniendo en cuenta la rigidez efectiva debido a la fisuración del concreto:

Donde, el coeficiente K depende de las condiciones de apoyo, y su valor está indicado en la siguiente tabla:

La deflexión inmediata es calculada para dos posibles condiciones de carga: la deflexión debida a cargas permanentes D_D, y la deflexión debido a la acción simultánea de carga permanente más carga viva D_D+L. Por lo cual debe utilizarse el momento de inercia efectivo para el nivel de carga correspondiente.

Para elementos continuos se permite tomar I_e como el promedio de los valores obtenidos para las secciones críticas de momento positivo y negativo. En midas Gen, se utiliza un promedio ponderado calculado según las siguientes expresiones:

A partir de estos resultados, la parte de la deflexión que es causada por la carga viva se obtiene restando la deflexión obtenida bajo la acción simultánea de carga permanente más carga viva, menos la deflexión obtenida para la carga muerta.

La deflexión máxima calcula no debe superar los valores máximos admisibles presentados en la Tabla C.9.5(b).

TABLA C.9.5(b) — Deflexión máxima admisible calculada

Deflexiones a largo plazo

La retracción y el flujo plástico debido a cargas sostenidas en el tiempo producen deflexiones adicionales a largo plazo en los elementos de concreto. Esta deflexión adicional se debe a la acción de la carga permanente y la porción de la carga viva sostenida en el tiempo, y puede estimarse multiplicando la deflexión inmediata por el factor:

Donde p’ es el valor en la mitad de la luz para tramos simples y continuos, y en el punto de apoyo para voladizos. Puede tomarse x, el factor dependiente del tiempo para cargas sostenidas, igual a:

5 años o más ……………………. 2.0

12 meses ………………………… 1.4

6 meses ………………………….. 1.2

3 meses ………………………….. 1.0

Ejemplo en midas Gen

El proceso para revisar deflexiones en vigas de concreto reforzada incluye las siguientes consideraciones, como se muestra en el video:

1. Definir el refuerzo longitudinal de la viga
2. Definir los límites de la deflexión máxima admisible
3. Definir los parámetros para la revisión de deflexiones a largo plazo
4. Realizar el chequeo del elemento

Para cada elemento se puede obtener un reporte detallado con el procedimiento de cálculo: 

===============================================================================
[[[*]]] CHECK DEFLECTIONS.
===============================================================================
( ). Calculate design moment for Deflection.

-. Mu_D(+) = 296374.821 kgf-cm. (Positive moment of Dead Load)
-. Mu_D(-) = -566061.451 kgf-cm. (Negative moment of Dead Load)
-. Mu_L(+) = 152701.439 kgf-cm. (Positive moment of Live Load)
-. Mu_L(-) = -289358.226 kgf-cm. (Negative moment of Live Load)
-. Sust (Sustained Factor) = 0.50
-. Mu_D+L(+) = Mu_D(+) + Mu_L(+) = 449076.260 kgf-cm.
-. Mu_D+L(-) = Mu_D(-) + Mu_L(-) = -855419.677 kgf-cm.
-. Mu_Sus(+) = Mu_D(+) + Sust*Mu_L(+) = 372725.541 kgf-cm.
-. Mu_Sus(-) = Mu_D(-) + Sust*Mu_L(-) = -710740.564 kgf-cm.

( ). Calculate cracking moment : Mcr(+)

-. fr = 0.62*sqrt(fck) = 33.202 kgf/cm^2.
-. Ig = 416666.667 cm^4.
-. yt = Hc/2 = 25.000 cm.
-. Mcr(+) = fr*Ig/yt = 553361.982 kgf-cm.

( ). Calculate cracking moment : Mcr(-)

-. fr = 0.62*sqrt(fck) = 33.202 kgf/cm^2.
-. Ig = 416666.667 cm^4.
-. yt = Hc/2 = 25.000 cm.
-. Mcr(-) = fr*Ig/yt = 553361.982 kgf-cm.

( ). Calculate cracked section moments of inertia : Icr(+)

-. n = Es/Ec = 8.103
-. Ast = 11.613 cm^2.
-. Asc = 11.613 cm^2.
-. B = Bc/(n*Ast) = 0.004 cm.
-. r = (n-1)*Asc / (n*Ast) = 0.877
-. kd = [ sqrt(2*dt*B*(1+r*dc/dt)+(1+r)^2) - (1+r) ] / B = 11.455 cm.
-. Icr(+) = Bc*kd^3/3 + n*Ast*(dt-kd)^2 + (n-1)*Asc*(kd-dc)^2 = 129364.038 cm^4.

( ). Calculate cracked section moments of inertia : Icr(-)

-. n = Es/Ec = 8.103
-. Ast = 11.613 cm^2.
-. Asc = 11.613 cm^2.
-. B = Bc/(n*Ast) = 0.004 cm.
-. r = (n-1)*Asc / (n*Ast) = 0.877
-. kd = [ sqrt(2*dt*B*(1+r*dc/dt)+(1+r)^2) - (1+r) ] / B = 11.455 cm.
-. Icr(-) = Bc*kd^3/3 + n*Ast*(dt-kd)^2 + (n-1)*Asc*(kd-dc)^2 = 129364.038 cm^4.

( ). Calculate effective moment of inertia

[ Dead Load(+) Case ]
-. Ma = Mu_D(+) = 296374.821 kgf-cm.
-. Mcr = Mcr(+) = 553361.982 kgf-cm.
-. Ig = 416666.667 cm^4.
-. Icr = Icr(+) = 129364.038 cm^4.
-. Ie_D(+) = MIN[ Ig, (Mcr/Ma)^3 *Ig + [1-(Mcr/Ma)^3]*Icr ] = 416666.667 cm^4.
[ Dead Load(-) Case ]
-. Ma = Mu_D(-) = -566061.451 kgf-cm.
-. Mcr = Mcr(-) = 553361.982 kgf-cm.
-. Ig = 416666.667 cm^4.
-. Icr = Icr(-) = 129364.038 cm^4.
-. Ie_D(-) = MIN[ Ig, (Mcr/Ma)^3 *Ig + [1-(Mcr/Ma)^3]*Icr ] = 397760.516 cm^4.
[ Dead+Live Load(+) Case ]
-. Ma = Mu_D+L(+) = 449076.260 kgf-cm.
-. Mcr = Mcr(+) = 553361.982 kgf-cm.
-. Ig = 416666.667 cm^4.
-. Icr = Icr(+) = 129364.038 cm^4.
-. Ie_D+L(+) = MIN[ Ig, (Mcr/Ma)^3 *Ig + [1-(Mcr/Ma)^3]*Icr ] = 416666.667 cm^4.
[ Dead+Live Load(-) Case ]
-. Ma = Mu_D+L(-) = -855419.677 kgf-cm.
-. Mcr = Mcr(-) = 553361.982 kgf-cm.
-. Ig = 416666.667 cm^4.
-. Icr = Icr(-) = 129364.038 cm^4.
-. Ie_D+L(-) = MIN[ Ig, (Mcr/Ma)^3 *Ig + [1-(Mcr/Ma)^3]*Icr ] = 207137.216 cm^4.
[ Sustained Load(+) Case ]
-. Ma = Mu_Sus(+) = 372725.541 kgf-cm.
-. Mcr = Mcr(+) = 553361.982 kgf-cm.
-. Ig = 416666.667 cm^4.
-. Icr = Icr(+) = 129364.038 cm^4.
-. Ie_Sus(+) = MIN[ Ig, (Mcr/Ma)^3 *Ig + [1-(Mcr/Ma)^3]*Icr ] = 416666.667 cm^4.
[ Sustained Load(-) Case ]
-. Ma = Mu_Sus(-) = -710740.564 kgf-cm.
-. Mcr = Mcr(-) = 553361.982 kgf-cm.
-. Ig = 416666.667 cm^4.
-. Icr = Icr(-) = 129364.038 cm^4.
-. Ie_Sus(-) = MIN[ Ig, (Mcr/Ma)^3 *Ig + [1-(Mcr/Ma)^3]*Icr ] = 264956.094 cm^4.

( ). Calculate initial or short-time deflection

[ Dead load ]
-. Ma = Mu_D(+) = 296374.821 kgf-cm.
-. K (Fix-Fix support) = 0.60
-. Ie_avg = 0.7*Ie_D(+) + 0.3*Ie_D(-) = 410994.822 cm^4.
-. Delta_D = K*(5/48) * (Ma*L^2 / (Ec*Ie_avg)) = 0.056 cm.
[ Dead+Live load ]
-. Ma = Mu_D+L(+) = 449076.260 kgf-cm.
-. K (Fix-Fix support) = 0.60
-. Ie_avg = 0.7*Ie_D+L(+) + 0.3*Ie_D+L(-) = 353807.831 cm^4.
-. Delta_D+L = K*(5/48) * (Ma*L^2 / (Ec*Ie_avg)) = 0.098 cm.
[ Sustained load ]
-. Ma = Mu_Sus(+) = 372725.541 kgf-cm.
-. K (Fix-Fix support) = 0.60
-. Ie_avg = 0.7*Ie_Sus(+) + 0.3*Ie_Sus(-) = 371153.495 cm^4.
-. Delta_Sus = K*(5/48) * (Ma*L^2 / (Ec*Ie_avg)) = 0.078 cm.

( ). Check short-time deflection

-. Delta_L = Delta_D+L - Delta_D = 0.042 cm.
-. DAF = 1.000 (Deflection Amplification Factor)
-. Def_Short = DAF * Delta_L = 0.042 cm.
-. Def_Lim = L / 360.000 = 1.552 cm.
Def_Short < Def_Lim ---> O.K !

( ). Check long-time deflection

-. xi = 2.00 (Time-Dependent Factor)
-. Lambda = xi/(1+50*p') = 1.512
-. DAF = 1.000 (Deflection Amplification Factor)
-. Def_Long = DAF * (Lambda*Delta_Sus+Delta_L) = 0.160 cm.
-. Def_Lim = L / 480.000 = 1.164 cm.
Def_Long < Def_Lim ---> O.K !

Autora: Rossana Lobo MSc. Ingeniería civil con énfasis en estructuras. Experta midas Gen     14 de Julio del 2022