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1. INTRODUCCIÓN
La mampostería, aunque es un material tradicional que se ha utilizado para la construcción durante años, es un material complejo (figura 1). Éste es un material compuesto complejo, y su comportamiento mecánico, que está influenciado por un gran número de factores, generalmente no se comprende bien. En la práctica ingenieril, muchos han adoptado análisis elásticos para el comportamiento estructural de este tipo de material, pero tales análisis pueden dar resultados erróneos y engañosos. La forma correcta de obtener resultados correctos de la mampostería es a través de un procedimiento de homogeneización descrito en la siguiente sección.
El efecto de la no linealidad (es decir, el agrietamiento por tensión, la falla de compresión, etc.) sobre el comportamiento del modelo de mampostería es muy importante y debe tomarse en cuenta al analizar el comportamiento último de las estructuras de este tipo. Teniendo sus propias ventajas y restricciones, se han llevado a cabo muchas investigaciones, por ejemplo, el “Concepto esfuerzo-deformación no lineal equivalente” de JS Lee y GN Pande, “Story-Mechanism” de Tomaževic, el enfoque de análisis de elementos finitos de Calderini & Lagomarsino y la "Idealización del marco equivalente" por Magenes y colaboradores. Por lo tanto, en la aplicación práctica para el efecto de las grietas de la mampostería, uno debe ser muy consciente de las características únicas de cada uno de los modelos no lineales para este tipo de estructuras. El concepto principal del modelo de mampostería no lineal adoptado en el modelo de mampostería de MIDAS Gen se basa en la teoría de J.S. Lee & G. N. Pande y se describe más adelante.
Figura 1 Fuente Mudéjar de Chiapa de Corzo construida en 1562
2. TÉCNICAS DE HOMOGENIZEACIÓN DE LA MAMPOSTERÍA
Las estructuras de mampostería pueden analizarse numéricamente si se emplea una relación correcta de esfuerzo-deformación para cada material con su respectivo modelo constitutivo. Sin embargo, un análisis tridimensional de una estructura de mampostería que involucre incluso una geometría muy simple requeriría un gran número de elementos y el análisis no lineal de la estructura requeriría mucho tiempo computacional. Para superar esta dificultad, las propiedades del material ortotrópico propuestas por Pande y colaboradores pueden introducirse para modelar la estructura de mampostería en el sentido de un material homogenizado equivalente. Estas propiedades de los materiales equivalentes se basan en un concepto de energía de deformación. Los detalles del procedimiento para obtener parámetros elásticos equivalentes basados en la técnica de homogeneización se dan a continuación. Las suposiciones básicas hechas para obtener las propiedades equivalentes del material a través de las consideraciones de energía de deformación son:
- El tabique y el mortero están perfectamente adheridos
- Las juntas de mortero (vertical u horizontal) se asumen como continuos
La segunda suposición es necesaria en el procedimiento de homogeneización, y tiene su base en la suposición de que las juntas verticales del mortero son continuas, en lugar de uniones escalonadas como aparecen en la práctica, sin embargo, no tiene ningún efecto significativo en los estados de esfuerzos de los materiales.
Los detalles de la derivación de las propiedades del material ortotrópico elástico de la mampostería en términos de las propiedades de sus materiales se dan en el apéndice “Orthotropic Properties of Masonry based on Strain Energy Rule" En la teoría matemática de homogeneización, existen diferencias con la secuencia de ésta. Por ejemplo, si homogeneizamos tabique y mortero en las juntas verticales primero y luego el material resultante con las juntas horizontales en la segunda etapa, entonces el resultado puede no ser el mismo si hubiéramos seguido una secuencia diferente. Sin embargo, se ha demostrado que usar diferentes tipos de secuencias de homogeneización no tiene ninguna influencia significativa. El programa toma en cuenta las propiedades equivalentes si los tabiques y las juntas horizontales se homogeneizan primero basadas del trabajo “Orthotropic Properties of Masonry based on Strain Energy Rule".
Se observa que, en Pande y colaboradores, las propiedades equivalentes del material se obtuvieron con el tabique y la junta vertical homogeneizándose primero. Las propiedades de los materiales ortotrópicos equivalentes derivadas del procedimiento de homogeneización se utilizan para construir la matriz de rigidez en el procedimiento de análisis de elementos finitos y, a partir de esto, se calculan las deformaciones / esfuerzos equivalentes. Los esfuerzos/ deformaciones en los materiales pueden evaluarse a través de relaciones estructurales, es decir,
Donde los subíndices b, bj y hj representan el ladrillo, la junta horizontal y la junta vertical respectivamente. Las relaciones estructurales para las deformaciones se pueden establecer de manera similar. Las matrices estructurales S se plantean en “Structural Relationship of Masonry”. De los resultados enumerados en Pande y colaboradores, se puede demostrar que las propiedades del material ortotrópico son funciones de:
- Dimensiones del tabique, largo, alto y ancho.
- El módulo de elasticidad y la relación de Poisson del tabique (figura 2).
- El módulo de Young y la relación de Poisson del mortero en las juntas verticales y horizontales.
- Espesor de las juntas de mortero verticales y horizontales.
Figura 2 Definición del material plástico de la mampostería.
Cabe señalar que la geometría de la mampostería debe modelarse con referencia a la figura 3 en la que los ejes presentados son los mismos que los ejes locales del elemento en el programa MIDAS. En consecuencia, se recomienda que la dirección de la gravedad sea paralela a la dirección local del elemento y de MIDAS Gen. Esto se debe a que la homogeneización se realiza en el plano x-y local. Por lo tanto, las propiedades del material ortotrópico generado también se basa en el sistema de ejes. Dado que la homogeneización se realiza solo en el plano x-y local, la rigidez en cada dirección difiere entre sí. También se debe tomar en cuenta que el sistema de ejes globales del programa MIDAS no tiene efecto en el modelo de la mampostería. Para mayor claridad, los ejes locales de una estructura de mampostería tridimensional se muestran en la figura 3b.
Figura 3 Modelo Histerético cinemático plástico Multilineal.
3. CRITERIO DE FALLA PARA LOS MATERIALES
La falla de la mampostería puede estar basada en el comportamiento micromecánico. En cada paso de carga, una vez que se calculan los esfuerzos/deformaciones equivalentes en la estructura de mampostería, los esfuerzos/deformaciones de los materiales constitutivos se pueden derivar sobre la base de la relación estructural de las ecuaciones (1). El esfuerzo principal máximo se calcula en cada material constitutivo (es decir, mortero vertical, horizontal y el tabique) y se compara con la resistencia a tensión definida por el usuario (figura 2). Si el esfuerzo principal máximo supera la resistencia a tensión en el paso actual, la contribución de rigidez del material a todo el elemento se ve obligada a volverse inefectiva. Incluso la relación elasto-plástica perfecta podría ser simulada para la relación esfuerzo-deformación no lineal de los materiales. Esto puede implementarse numéricamente sustituyendo la rigidez del componente con un valor muy pequeño como Ei= cero (donde el subíndice "i" podría ser del tabique, de la junta vertical u horizontal). Si el usuario establece el “Factor de reducción de rigidez” como un valor muy pequeño, el modelo de mampostería se comportará de forma no lineal. Por el mismo motivo, si el “Factor de reducción de la rigidez” se establece como un valor unitario, el modelo de mampostería se comportará elásticamente (figura 4).
De esta manera, se puede evaluar el modo local de falla. Para una mejor comprensión de este tipo de teoría de la relación esfuerzo-deformación no lineal equivalente, se puede consultar el trabajo de Lee y colaboradores (1996). Una vez que se produce el agrietamiento en cualquier material, el efecto se extiende en el material ortotrópico equivalente vecino a través de otra homogeneización. Aunque hay una serie de criterios para el modelo de mampostería, como Mohr-Coulomb, etc., el modelo de mampostería en MIDAS determina actualmente la falla a tensión tomando de referencia la resistencia a tensión definida por el usuario. Los criterios de falla más avanzados se desarrollarán en un futuro cercano con base en diversas investigaciones. Después de que se producen las grietas de tensión, las posiciones de las grietas se pueden rastrear mediante el post-proceso de esfuerzos en sólidos y placas (figura 5).
Figura 5. Elementos de mampostería potencialmente a agrietarse ante sismos
4. MÉTODOS DE ANÁLISIS PARA ESTRUCTURAS DE MAMPOSTERÍA
Para la evaluación del desempeño de una estructura de mampostería, generalmente se sugiere que la estructura debe ser analizada en conceptos de daños fuera del plano y daños dentro del plano. En primer lugar, refiriéndose a la figura 6, el daño fuera del plano que también se denomina "colapso del primer modo" o "daño local" implica cualquier tipo de falla local, como falla por tensión y volcado parcial del muro de mampostería. Para el análisis exacto del daño fuera de plano de la estructura de mampostería, parte de la estructura se modela con elementos finitos detallados, como modelos no lineales del material y elementos de interfaz para simular el agrietamiento del mortero, la interacción de la interfaz, la falla por corte, etc. En este tipo de análisis, simular la respuesta estructural real es numéricamente costoso y difícil de realizar y no es el caso en el modelo de mampostería del programa MIDAS Gen actual.
Figura 6. Ejemplo de mecanismo de daño fuera del plano
En segundo lugar, en la figura 7, el daño en el plano que también se denomina "colapso del segundo modo" significa la respuesta estructural ante carga externa como un conjunto. MIDAS Gen proporciona un modelo homogéneo de mampostería no lineal para este tipo de análisis. Las grietas de tensión en el mortero y el ladrillo se pueden rastrear con un modelo de material de mampostería no lineal simplemente definido. Cabe señalar que el comportamiento no lineal de la estructura de mampostería es muy sensible a las propiedades del material, así como a la resistencia a tensión y a la rigidez reducida después del agrietamiento. Por lo tanto, deben definirse cuidadosamente las propiedades de los materiales de manera adecuada, mediante una investigación exhaustiva y una consideración experimental.
Se reconoce que el comportamiento ideal para una estructura de mampostería se mantiene solo cuando el daño fuera del plano se previene, y la estructura muestra la reacción en el plano como un todo. Aunque estos dos tipos de daño se producen simultáneamente, se realizan análisis detallados por separado por cuestiones prácticas.
Figura 7. Ejemplo de mecanismo de daño dentro del plano
5. IMPORTANCIA DEL MODELADO NO LINEAL DE LA MAMPOSTERÍA
Para apreciar la importancia del modelo de mampostería no lineal, como se muestra en la figura 8, se analiza un muro de mampostería de dos pisos de forma lineal y no lineal. Según lo sugerido por Magenes, el modelo del muro con aberturas está sujeto a cargas simple de empuje en el plano. El modelo tiene 6 m de ancho y 6.5 m de altura y está mallado con elementos sólidos de ocho nodos. En primer lugar, el modelo se analiza linealmente, lo que significa que el factor de reducción de rigidez tiene un valor unitario. Después, para el comportamiento no lineal, el factor de reducción de rigidez se reduce a un valor muy pequeño de 1-10, lo que lidera a un comportamiento elastoplástico. Las fuerzas horizontales se cargan incrementalmente en más de 10 pasos, y la forma deformada de agrietamiento en el paso 8 se presenta en la figura 9. Los puntos marcados representan puntos de grieta y los resultados de contorno se basan en resultados de esfuerzos efectivos.
Figura 8. Modelo de muro de mampostería de dos entrepisos
En ambos casos, los modelos tienen el mismo procedimiento de homogeneización. La única diferencia es la rigidez reducida de uno de sus componentes en el que se produjo la grieta. La curva fuerza-desplazamiento que se muestra en la figura 10 da como resultado que el comportamiento analítico depende de manera significativa de la rigidez de los componentes de la mampostería después del agrietamiento. La deformación se extrae de los resultados nodales del punto superior derecho del modelo.
Figura 9. Agrietamiento y forma deformada en el paso 8
Figura 10. Resultados Fuerza-Deformación
En la figura 10, la importancia de la no linealidad es más convincente si consideramos los resultados del cortante basal resultante. En la figura 11, el eje horizontal muestra las posiciones de los muros y el eje vertical representa el cortante resultante de cada muro de manera independiente dividido por la fuerza cortante total. En el muro izquierdo, el resultado del cortante basal del modelo de mampostería no lineal es casi la mitad que el del modelo de mampostería lineal. Por el contrario, en el muro derecho, el cortante basal resultante del modelo no lineal es casi el doble que el del modelo lineal de mampostería. Además, la distribución general de la fuerza cortante es bastante diferente. El modelo de mampostería lineal muestra una distribución de fuerza simétrica alrededor del muro de en medio. Sin embargo, en el modelo de mampostería no lineal, el muro derecho tiene los resultados de fuerza cortante de mayor magnitud. A partir de esta consideración, debe notarse que las fuerzas cortantes después del agrietamiento no son compartidas por la rigidez elástica sino por la capacidad de resistencia como sugiere Magenes (2006).
Figura 11. Distribución de cortante basal
6. REFERENCIAS
J.S. Lee, G. N. Pande, et al., Numerical Modeling of Brick Masonry Panels subject to Lateral Loadings, Computer & Structures, Vol. 61, No. 4, 1996.
Tomaževič M., Earthquake-resistant design of masonry buildings, Series on Innovation in Structures and Construction, Vol. 1, Imperial College Press, London, 1999.
Calderini, C., Lagomarsino, S., A micromechanical inelastic model for historical masonry, Journal of Earthquake Engineering (in print), 2006.
Magenes G., A method for pushover analysis in seismic assessment of masonry buildings, 12th World Conference on Earthquake Engineering, Auckland, New Zealand, 2000.
GN. Pande, B. Kralj, and J. Middleton. Analysis of the compressive strength of masonry given by the equation. The Structural Engineer, 71:7-12, 1994.
G. N. Pande, J. X. Liang, and J. Middleton. Equivalent elastic moduli for brick masonry. Comp. & Geotech., 8:243-265, 1989.
R. Luciano and E. Sacco. A damage model for masonry structures. Eur. J. Mech., A/Solids, 17:285-303,1998.
Guido Magenes, Masonry Building Design in Seismic Areas: Recent Experiences and Prospects from a European Standpoint, First European Conference on Earthquake Engineering and Seismology, Paper Number: Keynote Address K9, Geneva, Switzerland, 3-8 September, 2006.
MIDAS (2023), Integrated design systems for buildings and general structures, MIDAS Gen v.2.1, Midas Information Technology Co. Ltd.
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