INTERPRETACIÓN DE ANÁLISIS DINÁMICO DE VALORES PROPIOS EN PUENTES (PARTE 1)

1 CONCEPTOS BÁSICOS DE DINÁMICA Y CAMPOS DE APLICACIÓN

¿Por qué necesitamos entender el comportamiento dinámico de una estructura? La respuesta a esta pregunta puede ser amplia. Desde el campo estructural, pueden ser alguna de las siguientes:
Porque uno de los eventos naturales para los cuales se debe diseñar es para que las estructuras resistan terremotos con cierto nivel de daño permitido según el criterio del código de diseño, y este es un fenómeno de vibración forzada al momento de generarse el movimiento del terreno, y posteriormente vibración libre al momento de cesar el movimiento del terreno.
Porque debido al nivel de importancia que tienen ciertas estructuras, un evento de diseño podría ser una explosión, que desde el punto de vista dinámico representa un impulso fuerte o débil que produce movimientos en la estructura según su cercanía con la fuente, además de la fuerza que representa la onda de presión de la explosión misma. Los puentes son bastante susceptibles a esto, sobre todo en vías importantes.
Porque existen varios eventos que podrían generar una fuerza de impacto directo sobre la estructura. En el caso de los puentes, podría ser una colisión de un vehículo que transita el puente o que choca con la subestructura si lo atraviesa por debajo; también un barco puede colisionar con el puente cuando éste atraviesa un cuerpo de agua navegable.

Justificado lo anterior, podemos proceder a estudiar los conceptos básicos y variables involucradas en el comportamiento dinámico. La ecuación de movimiento de una estructura de un grado de libertad es la siguiente:

Donde,
m: masa
c: amortiguamiento
k: rigidez
u,u ̇,u ̈: desplazamiento, velocidad y aceleración
(ug : aceleración del terreno

Equation 1. Ecuación de movimiento

Interpretando descriptivamente la ecuación, el comportamiento de una estructura cuando se presenta una excitación externa ((u_g ) ̈) depende de la manera en que se distribuya en el sistema la aceleración de su propia masa, la efectividad del amortiguamiento con el que se equipa, y el nivel de restricción que imponga la rigidez ante los desplazamientos. Si asumimos que el amortiguamiento es bajo (menor al 15% (Duan et. al, 2000)), como es normal en muchas estructuras, incluyendo los puentes, entonces el problema se simplifica y podemos asumir que el comportamiento dinámico amortiguado es muy similar al no amortiguado:

Donde,
ξ: relación de amortiguamiento con respecto al amortiguamiento crítico
T_d: periodo amortiguado
T_n: periodo no amortiguado

Equation 2. Periodo amortiguado y no amortiguado de una estructura de un grado de libertad

Pero sabemos que una estructura real tiene múltiples grados de libertad, y si se emplea el método de análisis modal, se puede asumir que su comportamiento es la superposición del comportamiento de sus diferentes modos de vibración independientes. Gráficamente:

Figure 1. Superposición de modos para una estructura

Dado que cada modo excita de forma distinta a la estructura, se puede asociar cada modo a una forma particular de vibrar que aporta de manera diferente al comportamiento total de la estructura. La masa efectiva total usualmente se usa como medida de control para conocer el número de modos mínimos a incluir en el análisis, pero también se emplean otros criterios. Los más empleados son:

• Usar una cantidad de modos de por lo menos tres veces el número de luces del modelo. Este criterio es el adoptado por AASHTO, que en su versión 2020 se incluye en 4.7.4.3.3.
• Usar una cantidad de modos tal que la masa efectiva total sea por lo menos el 90% de la masa total de la estructura. Este es el criterio tradicional en muchos códigos de diseño y aplicable a puentes convencionales.
• Usar una cantidad de modos tal que la masa efectiva total sea por lo menos el 95% de la masa total de la estructura. Este criterio aplica para puentes no convencionales o de gran cantidad de luces, en donde la participación de los modos altos puede ser muy relevante y crítico para ciertos componentes (FHWA, 2019).

Como ejemplo, consideremos el siguiente puente modelado en midas Civil:

Puente de voladizos sucesivos Luces de 45, 90 y 45 metros Radio en planta de 300 metros Altura de pilas hasta la superestructura de 25 metros Conexiones intermedias rígidas

Dimensiones superestructura

Dimensiones columnas

Figure 2. Ejemplo de puente en voladizos sucesivos

Podríamos clasificar el puente en voladizos sucesivos de tres luces como convencional. Para encontrar el número mínimo de modos que cumpla con una masa efectiva acumulada del 90%, resumimos los resultados de los primeros 3 modos principales en el sentido longitudinal:

Figure 3. Primeros tres modos relevantes para la dirección longitudinal

Se aprecia que, para el sentido longitudinal, dos modos serían suficientes para cumplir el criterio del 90%, pero según AASHTO se requerirían nueve modos de vibración. Ya desde el tercer modo hay buena aproximación a la totalidad de la masa efectiva participativa porque se acumula casi un 97%. En la gran mayoría de puentes, el criterio de AASHTO sería entonces suficiente, pero vale la pena revisar la masa efectiva en todos los casos.

Hasta aquí hemos enumerado las principales variables involucradas en el comportamiento dinámico de una estructura de un grado de libertad, que puede ser empleado como referencia de estructuras de múltiples grados de libertad. Aunque en el siguiente capítulo se estudian en cierto nivel de detalle, el problema del comportamiento dinámico de las estructuras en general puede ser estudiado en profundidad en muchos textos. Algunos de ellos son:
• Dynamics of structures – Anil K. Chopra (2020)
• Structural dynamics of earthquake engineering – Rajasekaran (2009)
• Bridge Design Handbook – Lian Duan, Murugesu Vinayagamoorthy, Rambabu Bavirisetty (2000)

2 VARIABLES QUE AFECTAN EL COMPORTAMIENTO DINÁMICO

En este capítulo abordaremos las variables que hemos introducido antes y las evaluaremos desde la mirada de la modelación numérica.

2.1 MASA

De la Equation 2, se observa que el periodo de vibración es proporcional a la masa. En la medida en que un puente tenga más masa que pueda vibrar, se va a ver sometida a fuerzas más grandes que tendrán que ser resistidas por los miembros estructurales. Aunque sabemos que la realidad es que la materia esté continuamente distribuida en el volumen de los miembros, la modelación numérica concentra las masas en los nodos. A continuación, se muestran tres modelos de un puente de luz simple:

Figure 3. Primeros tres modos relevantes para la dirección longitudinal

El programa midas Civil, como programa de elementos finitos, considera solamente aquellas masas que pueden desplazarse. En los modelos anteriores, se han considerado dos grados de libertad traslacionales: verticales y horizontales. Entonces, cada masa aferente a los nodos libres podría desplazarse de dos maneras.

Table 1. Comparación de resultados del análisis dinámico de los modelos de la viga simple

Como se puede observar, el primer modelo ni siquiera produce resultados de modos de vibración. De hecho, el programa advierte al ejecutar el análisis: ERRORS ENCOUNTERED. MIDAS JOB TERMINATED. REFER TO .OUT FILE. No obstante, este modelo es válido para realizar análisis de cargas estáticas, pero sería inadecuado para análisis dinámicos debido a la pobre discretización.

2.2 RIGIDEZ

De la Equation 2, se observa que el periodo de vibración es inversamente proporcional a la rigidez. En la medida en que el puente sea más rígido, el periodo de vibración será más pequeño. Si el periodo de vibración es pequeño, probablemente quedará en la platea del espectro de diseño (mayores demandas sísmicas).

Las rigideces de los elementos empleadas para los análisis estáticos usualmente son adecuadas para los análisis dinámicos, de acuerdo con las hipótesis permitidas en muchos códigos de diseño. No obstante, existen numerosas razones por las cuales esto no es teóricamente correcto.

Se acepta de forma general que el comportamiento de un puente bajo cargas de operación es lineal. En esos casos se emplean las rigideces brutas, pero es posible que, para otros eventos, como por ejemplo un terremoto, el nivel de fisuración de los elementos sea tal que la rigidez se reduzca mucho. No obstante, muchos códigos de diseño permiten emplear rigideces brutas aún en análisis dinámicos.

Según las investigaciones de Priestley (2003), para el caso de columnas circulares, según el nivel de carga axial y de cuantía de refuerzo, la rigidez se podría ver afectada en diferentes proporciones:

Figure 5. Reducción de rigidez flexional para columnas circulares con diferentes cuantías y cargas axiales. Tomada de Priestley (2003)

Para el puente de la Figure 2, la carga axial por peso propio es de 31500 kN, lo que se traduce en un esfuerzo de 4.85 MPa, un 14% de la resistencia a la compresión de 35 MPa. Para ese valor de relación de carga axial, y si se encuentra en zona de amenaza sísmica alta, entonces la rigidez puede variar entre 40 y 75% de la rigidez flexional bruta. A continuación, se comparan los resultados de los tres primeros modos de vibración:

Table 2. Comparación de resultados del análisis dinámico de los modelos fisurados del puente en voladizos

Como se aprecia, a medida que se fisuran más los elementos verticales del puente, serán más flexibles y luego en el análisis sísmico se verán beneficiados con una menor demanda sísmica.

El programa midas Civil permite asignar valores de rigidez por elemento, por sección y por caso de carga. De esta manera, se podrían asignar rigideces diferentes para cada escenario de carga del puente. En el ejemplo anterior, se empleó la rigidez por sección a las dos columnas.

.2.3 OTRAS VARIABLES

El comportamiento dinámico de los puentes se ve influenciado por otras variables como el amortiguamiento y la discretización del modelo. Estos temas serán cubiertos en la parte 2 de este artículo.

3 REFERENCIAS

• Bridge Engineering HandBook - Wai-Fah Chen (1999)
• Manual for Refined (Modeling) Analysis in Bridge Design and Evaluation – FHWA (2019)

Autor: Cristian Londoño MSc. Ingeniería civil Experto midas Civil     15 Septiembre del 2022